تصحيح مباراة توظيف الأساتذة أطر الأكاديميات – نونبر 2019 – تصحيح مادتي التخصص وديداكتيك الرياضيات
تصحيح شامل لمباراة التعليم 2019 (الرياضيات)
أولاً: مادة الرياضيات (QCM) – الإجابة عن جميع الأسئلة
التعليل: تطبيق لمبدأ الاستلزام العكسي (Contraposée). بما أن $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ صحيحة، فإن نفي اللاحق يستلزم نفي السابق.
التعليل: هذا هو تعريف المجموعة المحدبة (Convex set) في $\mathbb{R}$، وهو ما يكافئ المجال.
التعليل: كل عدد عقدي له جذر مربع (شمولي)، لكن $1^2=(-1)^2$ (غير تبايني).
التعليل: باستخدام العلاقة $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ واشتقاق ثنائي الحد لنيوتن.
التعليل: النقطة الثابتة للدالة $g(x)=e^{-x}-2$ طاردة (Répulsive) لأن $|g'(l)| > 1$.
التعليل: حلول المعادلة المميزة هي 1 و 9. الفرق يتناسب مع $9^n$.
التعليل: متسلسلة متناوبة تحقق شرط لايبنتز (Leibniz) بعد النشر المحدود.
التعليل: دراسة تغيرات الدالة تظهر 3 تقاطعات مع محور الأفاصيل.
التعليل: النهاية موجودة وتساوي $e$.
التعليل: مبرهنة ديريكليه (Dirichlet) للمتتاليات الحسابية.
التعليل: الاتصال يضمن انتقال الرتابة للأطراف.
التعليل: خاصية المتسلسلات المتناوبة (Alternating series).
التعليل: تقارب بجوار 0 (تمديد) وبجوار اللانهاية ($1/x^2$).
التعليل: بحل المعادلة نجد أن المعيار يجب أن يكون 0 أو 1، وبالتعويض نجد الحلول التخيلية.
التعليل: مكاملة بالأجزاء (IPP).
التعليل: مبرهنة بيزو (Bézout) لأن القاسم المشترك الأكبر لـ 2 و 3 هو 1.
التعليل: الحل المشترك لجميع المستويات $P_n$.
ثانياً: ديداكتيك الرياضيات (جميع الأجزاء)
التعليل: تقديم التحاكي بمرجعية متجهية دون صيغ تحليلية (خاص بمقرر الجذع المشترك).
2. المعارف المستهدفة: تعريف التحاكي، الخاصية المميزة، الحفاظ على (المسافة، الزوايا، الاستقامية)، صور الأشكال.
3. دور القدرات المنتظرة: تحديد الأهداف الإجرائية للتعلم وتوجيه عملية التقويم.
4. المكتسبات القبلية: المتجهات (تساوي، استقامية)، التوازي، مبرهنة طاليس، التحويلات السابقة (إزاحة، تماثل).
5. الخاصية المميزة والبرهان:
الخاصية: $\vec{A’B’} = k\vec{AB}$.
البرهان: بتوظيف علاقة شال ومركز التحاكي $\Omega$: $\vec{A’B’} = \vec{A’\Omega} + \vec{\Omega B’} = -k\vec{\Omega A} + k\vec{\Omega B} = k(\vec{\Omega B} – \vec{\Omega A}) = k\vec{AB}$.
6. الترجمة:
- Symétrie axiale: التماثل المحوري
- Symétrie centrale: التماثل المركزي
- Translation: الإزاحة
- Homothétie: التحاكي
– نشاط 1: بناء مفهوم التحاكي وخاصيته المميزة.
– نشاط 2: توظيف التحاكي في حل مسائل هندسية (مستقيم أولر).
2. اسم التحويل ومعرفة المتعلم:
التحويل هو “التحاكي”. نعم قد يكون المتعلم صادفه كـ “تكبير/تصغير” (مبرهنة طاليس) في الإعدادي، لكن المفهوم المتجهي جديد.
3. الهدف من كل نشاط:
– النشاط 1: الانتقال من الملاحظة الهندسية إلى التعريف المتجهي.
– النشاط 2: استثمار خواص التحاكي (الحفاظ على الأشكال) للبرهنة على تلاقي الارتفاعات.
4. إنجاز النشاط 2:
يعتمد الحل على اعتبار تحاكٍ مركزه $G$ ونسبته $-2$ (أو $-1/2$ حسب الاتجاه) يربط بين الدائرة المحيطة ودائرة النقاط التسع، أو بين مركز الثقل ومركز التعامد.
5. الصعوبات المتوقعة (سؤال 1 و 2):
– تحديد نسبة التحاكي الصحيحة (سالبة أم موجبة).
– صعوبة تخيل صورة مستقيم (الارتفاع) لا يمر من مركز التحاكي.
– الأسباب: ضعف التخيل الهندسي، عدم استيعاب المفهوم المتجهي بعد.
6. صنف المسائل: مسائل التلاقي (Concourance) والاستقامية. الاقتصار على الإزاحة والتماثل يعود لصعوبة التحاكي ولأنه يغير المسافات (Isométrie vs Similitude).
2. دور الشكل:
أ- مساعد على التخمين (Heuristique).
ب- مصدر للأخطاء إذا اعتبر برهاناً (كما فعل التلميذ A: “نلاحظ أن…”).
3. المحفز للتلميذ B: وجود واسط القطعة والمثلث متساوي الساقين يحيل مباشرة على التماثل المحوري.
4. الجدول المقارن (تحليل الإجابات):
| المعيار | التلميذ A | التلميذ B |
|---|---|---|
| الدقة في التعبير | ضعيفة (“نلاحظ”، “يبدو”) | جيدة (استعمال لغة التحويلات $s(M)=M’$) |
| الدقة في البرهان | منعدمة (استدلال بصري خاطئ) | منطقية (مقدمات $\leftarrow$ خصائص $\leftarrow$ نتائج) |
| الأخطاء | اعتبار الشكل برهاناً | لا يوجد خطأ منهجي |
5. ثلاثة أخطاء شائعة:
1. الخلط بين خصائص التماثل المركزي والمحوري (خاصة الحفاظ على الاتجاه).
2. نسيان أن التحاكي يغير المسافات (يضربها في $|k|$).
3. صعوبة إنشاء صورة شكل يتقاطع مع مركز التحويل.
6. إعادة صياغة التمرين (للثانية إعدادي):
“ليكن $ABC$ مثلثاً متساوي الساقين في $A$، و $(OA)$ واسط $[BC]$.
1. أنشئ مماثلة النقطة $I$ بالنسبة للمستقيم $(OA)$.
2. بين أن هذه المماثلة تنتمي للقطعة $[AC]$.
3. استنتج أن $OI=OJ$.”
